i numeri primi

i numeri primii numeri naturali possono essere divisi in due categorie: i primi e i composti. l’appartenenza a una categoria esclude l’altra; se un numero è primo, allora non può essere composto. si tratta di due gruppi aritmetici distinti, inconciliabili e irriducibili l’uno nell’altro. la stessa cosa dicasi per la categoria dei pari e quella dei dispari; l’una non è comprensiva dell’altra; se un numero è pari non può essere dispari.

è detto primo quel numero naturale che può essere diviso esattamente solo per 1 e per se stesso. con l’espressione dividere esattamente si intende operare una divisione il cui risultato è un numero naturale e privo di resto. un esempio di numero primo è 13. questo numero non ha altri divisori esatti se non 1 e 13 (13 : 1 = 13 e 13 : 13 = 1). se volessimo dividerlo per qualsiasi altro numero, non otterremmo come risultato un numero naturale, ossia un numero intero positivo (della serie infinita 1, 2, 3, 4, 5…) ma frazionario. per esempio, dividendo 13 per 2 otterremmo 6,5;  per 3, otterremmo 4,33333… periodico; per 4, otterremmo 3,25.
1 non è un numero primo. pur essendo divisibile per 1 e per se stesso, i matematici moderni concordano di escluderlo dalla categoria dei primi per una serie di motivi. l’ultimo celebre matematico che considerò 1 un primo fu henri lebesgue, nel 1899. la tabella dei numeri primi comincia di solito con 2 (l’unico primo pari; gli altri sono tutti dispari, in quanto i pari successivi a 2 hanno almeno un terzo divisore, cioè 2).
i divisori di un numero sono chiamati anche fattori (dal latino facĕre, fare, fabbricare) perchè con loro si possono costruire quei numeri che essi stessi sono in grado di dividere. nel linguaggio matematico i fattori 1 e 13 sono detti banali. tutti i numeri naturali hanno i due fattori banali, ossia 1 e se stessi.

è detto composto quel numero naturale che può essere diviso esattamente, oltre che per i fattori banali, anche per altri fattori. un esempio di numero composto è 12. questo numero non solo è divisibile esattamente per 1 e per 12, ma anche per 2 (12 : 2 = 6), per 6 (12 : 6 = 2), per 3 (12 : 3 = 4) e per 4 (12 : 4 = 3). 12 ha quindi 6 fattori: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. tolti quelli banali rimangono 2, 3, 4 e 6. questi fattori sono detti propri.
riepilogando, i primi sono numeri aventi solo fattori banali; i composti sono numeri aventi sia fattori banali sia fattori propri.

questo è un elenco di tutti i numeri primi minori di 1000:

 

2          3          5          7          11          13          17          19          23          29          31

37       41       43       47         53         59          61         67         71          73          79

83       89       97     101       103      107        109       113       127       131        137

139     149    151     157       163      167        173       179       181       191        193

197     199    211     223       227      229        233       239       241       251        257

263     269    271     277       281      283        393       307       311       313        317

331     337    347     349       353      359        367       373       379       383        389

397     401    409     419       421      431        433       439       443       449        457

461     463    467     479       487      491        499       503       509       521        523

541     547    557     563       569      571        577       587       593       599        601

607     613    617     619       631      641        643       647       653       659        661

673     677    683     691       701      709        719       727       733       739        743

751     757    761     769       773      787        797       809       811       821        823

827     829    839     853       857      859        863       877       881       883        887

907     911    919     929       937      941        947       953       967       971        977

983     991    997

 

 

 

il teorema fondamentale dell’aritmetica

i numeri primi hanno una peculiarità. mediante la loro moltiplicazione, possono costruire tutti gli altri numeri naturali, a eccezione di 1. tutti i numeri interi positivi maggiori di 1 sono, dunque, o primi o il prodotto di numeri primi. questo enunciato viene chiamato il teorema fondamentale dell’aritmetica. già conosciuto dagli antichi, tra cui i pitagorici ed euclide, questo teorema ebbe tuttavia la sua prima rigorosa dimostrazione a opera del matematico e fisico tedesco johann friedrich carl gauss, vissuto tra il XVIII e il XIX secolo, che la espose nella sua opera disquisitiones arithmeticae (ricerche di aritmetica), edita nel 1801.
vediamo più nel dettaglio il teorema facendo un esempio. 34 non è un numero primo (infatti è un pari e, come tutti i pari, è divisibile per il fattore proprio 2 – l’unico pari a essere primo); 34 può essere pertanto espresso come il prodotto di numeri primi: 34 = 2 x 17. facciamo un altro esempio: 70 è un numero pari, quindi può essere ottenuto, come nel caso di 34, dalla moltiplicazione di primi: 70 = 2 x 5 x 7. ancora un esempio: 129 non è un numero primo ed è un dispari; può essere allora scomposto in un prodotto di primi: 129 = 3 x 43.
il modo i cui si può fattorizzare un numero composto è unico (prescindendo dall’ordine dei fattori).

 

il crivello di eratostene

per sapere se un numero è primo gli antichi greci utilizzavano un metodo molto semplice ed efficace, escogitato dal matematico, astronomo e geografo eratostene di cirene, vissuto nel III secolo a.c.. tale metodo è detto il crivello di eratostene, perchè con esso vengono setacciati i numeri di una data serie, separando i primi dai composti. vediamo come funziona.
si prenda una serie definita di numeri naturali, per esempio da 1 a 100. si eliminino dapprima tutti i multipli di 2 (4, 6, 8, 10…). da questa operazione viene risparmiato il numero 3; si proceda allora con l’eliminare tutti i multipli di 3 (6 – che è stato già eliminato dal 2 – 9, 12 – già eliminato – 15…). il setaccio ha risparmiato questa volta il numero 5; si scartino quindi tutti i multipli di 5 (10, 15, 20 – già eliminati – 25…). si proceda in questo modo, togliendo dalla serie data tutti i multipli di quei numeri risparmiati dal crivello, che saranno tutti primi (come 7, 11, 13 e 17).
questo è un prospetto del crivello di eratostene per i numeri da 1 a 100:

 

1            2            3            4            5            6            7            8            9            10

11          12          13          14         15          16          17         18          19            20

21          22          23          24         25          26          27         28          29            30

31          32          33          34         35          36          37         38          39            40

41          42          43          44         45          46          47         48          49            50

51          52          53          54         55          56          57         58          59            60

61          62          63          64         65          66          67         68          69            70

71          72          73          74         75          76          77         78          79            80

81          82          83          84         85          86          87         88          89            90

91          92          93          94         95          96          97         98          99          100

 

 

il cribro di eratostene serve a eliminare entità crebre, ossia entità numeriche che si ripetono con la stessa frequenza, che sono i multipli dei primi. il crivello è adoperato ancora oggi per trovare i primi piccoli, minori di 10 000 000.

 

l’infinità dei numeri primi

già gli antichi si posero la questione se i primi siano finiti o infiniti. nella serie interminabile dei numeri naturali, a un certo punto i numeri primi cessano di esistere oppure continuano a spuntare qua e là illimitatamente? il problema fu risolto con eleganza già dal matematico greco alessandrino euclide, intorno al 300 a.c.. vediamo come. si prenda una serie di numeri primi a piacere, per esempio 2, 3, 5 e 7. si faccia il prodotto tra di loro: 2 x 3 x 5 x 7 = 210 e poi si aggiunga 1 al risultato. si ottiene così 211. questo numero non può essere diviso esattamente in nessuno dei primi della serie suddetta perchè darebbe come resto 1. euclide, che conosceva il teorema fondamentale dell’aritmetica, sapeva che 211 poteva essere espresso dal prodotto di numeri primi oppure essere esso stesso un numero primo. in questo caso 211 è un numero primo. se dalla moltiplicazione dei primi di una qualsiasi serie finita e con l’aggiunta di 1 si fosse ottenuto un numero composto, allora questo avrebbe avuto nella fattorizzazione almeno un numero primo non incluso nella serie. euclide aveva così dimostrato che si potevano ottenere sempre nuovi numeri primi dalla moltiplicazione di primi consecutivi presi da un elenco finito e aggiungendo ad essi una unità.

 

la progressione dei numeri primi

leonhard euler, il celebre matematico svizzero del XVIII secolo, definiva la serie dei numeri primi una progressio abstrusa (progressione astrusa). questi numeri, infatti, si succedono in maniera irregolare e imprevedibile. almeno questa è la conclusione che se ne trae osservando la loro trènda_; fra un numero primo e l’altro non vi è sempre lo stesso intervallo ma la distanza che intercorre è variabile. per esempio, tra 7 e 11 vi è una differenza di 4 unità; tra 41 e 43 ve ne è una di 2; tra 787 e 797 di 10; tra 929 e 937 di 8. i numeri primi che hanno una differenza di 2 unità sono detti gemelli; quelli la cui differenza è 4, cugini; quelli con differenza 6 sono chiamati sexy (dal latino sex, sei). esempi di gemelli sono 5,7; 11, 13; 419, 421; 809, 811. la più grande coppia di primi bigemini finora scoperta è 2996863034895 · 2¹²⁹⁰⁰⁰⁰ ± 1 (di 388342 cifre ciascuno). esempi di primi cugini sono 7, 11; 13, 17; 307, 311; 757, 761. la coppia di cugini più grande calcolata finora ha 11594 cifre. secondo un algoritmo polinomiale probabilistico la coppia di presunti cugini più grande ha 29629 cifre ed è: 474435381 · 2⁹⁸³⁹⁴ – 1 / 474435381 · 2⁹⁸³⁹⁴ – 5. di questa coppia solo il primo numero si sa con certezza essere primo; l’altro è ancora al vaglio. tra i numeri sexy abbiamo 73, 79; 251, 257; 443, 449; 751, 757.
la progressione dei numeri primi, come abbiamo appena visto, non ha una periodicità. essi sono distribuiti in maniera sparsa nella serie infinita dei numeri naturali con una propria posizione che non può essere predetta con esattezza. vi è tuttavia un dibattito millenario tra i matematici sulla questione. la progressione dei numeri primi è davvero irregolare oppure ha un suo ritmo recondito? il disordine con cui si presenta è solo apparente o vi è una logica in questa distribuzione, un senso profondo che può essere fatto emergere mediante formule ed equazioni? alcuni matematici sono propensi nel credere che dietro al disordine dei primi si nasconda una certa armonia, che però sfugge ancora alla ragione umana. altri sono dell’avviso che l’andamento dei numeri primi non sia caotico apparentemente, ma che lo sia per davvero; i primi sarebbero entità aritmetiche aritmiche, succedenti le une alle altre senza un ordine preciso; pertanto, non si può escogitare alcun algoritmo che ne stabilisca la successione. di questa opinione era lo stesso leonhard, il quale diceva che i matematici cercano invano una qualche sequenza che possa dimostrare l’ordine dei primi, dacchè la confusa distribuzione di questi è evidente di per sè.
anch’io, come leonhard, credo che la successione dei numeri primi non celi alcun ordine. la loro posizione non può dirsi regolare, stando almeno ai parametri della logica umana, ma si inserisce nella serie infinita dei numeri naturali in modo discontinuo. diversamente dai numeri pari e da quelli dispari, che ricorrono sempre con la stessa frequenza, i numeri primi hanno un andamento incostante. sebbene ci siano degli aspetti ricorsivi e a volte anche monotoni nella loro progressione, i numeri primi non seguono uno schema preciso che si riproduce regolarmente col succedersi dei numeri naturali.

 

la congettura di goldbach

il 18 novembre 1752 il matematico prussiano christian goldbach inviò una lettera al suo amico e collega leonhard euler, nella quale supponeva un fatto: “tutti i numeri pari maggiori di 2 possono scriversi come la somma di due numeri primi”. l’espressione somma di due numeri primi va intesa anche nel senso che i due addendi siano lo stesso numero ripetuto due volte. questa formulazione è detta congettura di goldbach ed è uno dei problemi irrisolti della matematica. leonhard si interessò subito alla questione espostagli dall’amico e la verificò sottoponendola ai calcoli. analizzò i primi 1000 numeri trovando per tutti valida l’ipotesi di christian. in una lettera datata 3 aprile 1753, leonhard scrisse al collega che aveva verificato la validità della sua congettura fino al numero 2500. oggi, coi moderni calcolatori, siamo giunti a verificarne la giustezza per i primi 400 trilioni di numeri (400 000 000 000 000). le prove sperimentali a nostra disposizione sarebbero oltremodo persuasive della correttezza della congettura di goldbach; tuttavia, essa manca di una dimostrazione matematica e pertanto non può essere considerata un teorema.
in questo paragrafo darò una mia soluzione alla congettura di goldbach. per fare ciò, occorre però che io ridefinisca la nozione di numero primo, dandone una spiegazione più approfondita, e che definisca anche la natura del numero 1, del numero pari e del numero dispari. in questo modo la mia esposiozione sarà più chiara. partiamo col numero 1:

1 è l’unità indivisibile.

questa, almeno, è la sua primitiva definizione. sebbene le cose stiano diversamente, in quanto 1 è un numero divisibile come tutti gli altri (es.: 1 : 2 = 0,5; 1 : 3 = 0,333333…; 1 : 20 = 0,05), l’indivisibilità della unità è fondamentale nella teoria dei numeri ed è alla base della definizione dei naturali in generale, dei pari, dei dispari e dei primi in particolare. l’inscindibilità di 1 è imprescindibile, assiomatica nel sistema dei numeri naturali, che proprio per quella sono detti interi; se non si tenesse conto dell’indivisibilità di 1 e si considerasse pertanto la sua natura frustulèntaᶰ, natura questa comune a tutti i numeri, allora gran parte dell’impalcatura di questi verrebbe meno.
la caratteristica fondamentale della unità indivisibile è che con essa si possono costruire tutti i numeri naturali. basta aggiungere a una unità un’altra unità e poi un’altra e un’altra ancora, illimitatamente. così 7 è costituito da 7 unità, 26 da 26 unità, 33 da 33 unità.
vediamo ora che cosa sono i numeri pari.

   – i pari sono quei numeri che possono essere divisi in due metà esatte conservando l’interezza delle unità componenti.

per due metà esatte intendo dire due metà uguali fra loro. per esempio, il 2 è un numero pari perchè può essere diviso in due metà esatte, entrambe costituite da 1 unità integra. 14 è un numero pari perchè può essere diviso in due metà esatte, entrambe costituite da 7 unità integre. 398 è un numero pari perchè è altrettanto divisibile in due metà uguali, ognuna delle quali è costituita da 199 unità integre.
passiamo ora ai numeri dispari.

i dispari sono quei numeri che non possono essere divisi in due metà esatte conservando l’interezza delle unità componenti.

il dispari è il contrario del pari. se vi sono numeri che possono essere divisi in due metà esatte mantenendo integre le unità componenti (i pari), ve ne sono altri (i dispari), sempre decòste_ ai pari, immediatamente successivi a questi e precedenti, che non sono divisibili alla stessa maniera; se infatti vengono scissi in due metà esatte, viene scissa anche una loro unità in due metà esatte e in questo modo si contravviene alla regola fondamentale per cui 1 è un’unità indivisibile. qualora si trasgredisse il principio di indivisibilità di 1, allora verrebbe meno la distinzione tra pari e dispari, in quanto, con una unità composita, non avrebbe senso parlare di dispari poichè tutti i numeri naturali sarebbero divisibili in due metà esatte e, quindi, sarebbero tutti quanti pari. per fare un esempio, allora, 7 è un numero dispari perchè non può essere diviso in due metà uguali fra loro senza dividere anche una unità; 7 : 2 = 3,5 (le due parti intere di 7 più simili tra loro sono 3 e 4, che differiscono di 1 unità).
alcuni dispari hanno una caratteristica. pur non essendo divisibili in due metà esatte possono essere divisi in più parti esatte. 9 è uno di questi. esso non può essere diviso in due parti uguali lasciando intere le unità componenti, ma può essere scisso in tre parti uguali conservando l’interezza delle unità: 9 : 3 = 3. il 9 è composto da tre parti uguali, composte a loro volta da tre unità integre. così anche 57 è un numero dispari indivisibile in due dimìdii# esatti con unità integre (57 : 2 = 28,5) ma divisibile in più parti esatte con unità integre. 57 è scomponibile in tre parti ognuna delle quali è costituita da 19 unità, per cui 57 : 3 = 19.
oltre a questo tipo di numeri dispari, ve ne sono altri che non possono essere divisi in parti esatte. questi sono i numeri primi. 13, per esempio, è un numero primo perchè da una sua qualsiasi scomposizione non possono ottenersi parti uguali fra loro (fa eccezione la suddivisione di un primo nelle singole unità componenti, ossia per se stesso; tale suddivisione, però, essendo comune a tutti i numeri naturali, è irrilevante nella definizione di numero primo). una suddivisione di 13 prossima all’esattezza è la tripartizione in 4, 4 e 5; una di queste parti, il 5, differisce di 1 unità dalle altre due. così anche 79 è primo perchè non può essere scomposto in parti esatte. la tripartizione più vicina alla precisione è 26, 26, 27; anche qui una delle tre parti differisce dalle altre due di 1 unità. in base a questa caratteristica, ridefiniamo allora i numeri primi:

i primi sono quei numeri naturali che non possono essere divisi in parti uguali conservando l’interezza delle unità componenti.

ciò che differenzia i numeri primi dagli altri dispari e dai pari è la disuguaglianza delle loro parti.
secondo la definizione che abbiamo appena dato, il numero 2 non è da considerarsi un primo. infatti, esso è divisibile in due parti uguali con unità intere. tuttavia, nel rispetto del teorema fondamentale dell’aritmetica, occorre che 2 sia considerato un primo, in quanto è impiegato nella costruzione di alcuni composti (per esempio, 34 = 2 x 17).
riepilogando: i pari sono divisibili in due metà esatte; i dispari non sono divisibili in due metà esatte; tra i dispari, ve ne sono alcuni che possono essere divisi in parti esatte, altri che non possono essere divisi in parti esatte. questi ultimi sono detti primi.

osserviamo, ora, che i numeri pari possono essere ottenuti da tre tipi di somme. enunciamoli qui di seguito:

tutti i numeri pari naturali (escluso il 2) sono esprimibili come la somma di due numeri pari.

es.:

4 = 2 + 2      6 = 2 + 4      8 = 4 + 4      10 = 6 + 4 o 8 + 2

54 = 28 + 26 o 24 + 30 o 22 + 32 (più altre combinazioni tra due numeri pari)

– tutti i numeri pari naturali (incluso il 2) sono esprimibili come la somma di due numeri dispari.

es.:

2 = 1 + 1     4 = 3 + 1     6 = 3 + 3     8 = 5 + 3 o 7 + 1    10 = 9 + 1 o 7 + 3 o 5 + 5

54 = 27 + 27 o 23 + 31 o 21 + 33 (più altre combinazioni tra due numeri dispari)

tutti i numeri pari naturali maggiori di 2 sono esprimibili come la somma di due numeri primi (congettura di goldbach).

es.:

6 = 3 + 3      8 = 3 + 5      10 = 3 + 7 o 5 + 5      12 = 5 + 7      14 = 3 + 11 o 7 +7

se 2 viene considerato un numero primo, allora anche 4 può essere ottenibile dalla somma di due primi: 4 = 2 + 2. nella nostra disamina sulla distribuzione dei primi abbiamo detto però che 2 non rientra in questa categoria di numeri irregolari, in quanto è divisibile in due metà esatte ed è quindi regolare. 4, tuttavia, può essere ottenuto anche dalla somma di 3 con 1. in base alla definizione che abbiamo dato di numero primo, ossia un numero naturale che non può essere diviso in parti uguali conservando l’interezza delle unità componenti, anche 1, che generalmente viene scartato, può essere annombràto# tra i primi. 1, infatti, non può essere diviso in parti uguali mantenendosi integro; anzi, nell’àmbito dei numeri naturali, esso non può essere diviso affatto. 1 può pertanto concorrere alla costruzione per somma dei numeri pari, secondo la congettura di goldbach. inoltre, può anche sostituire il 2 nel teorema fondamentale dell’aritmetica per la costruzione di alcuni composti, sebbene le moltiplicazioni che richiedono l’unità risultino banali.
poichè 1 è un numero primo, anche il 2 può allora essere ottenuto dalla somma di due primi: 2 = 1+1. potremmo dunque recedere di una spanna nella formulazione di christian, modificandola in questi termini: “tutti i numeri pari sono esprimibili come la somma di due numeri primi”.

osserviamo anche che alcuni pari sono esprimibili come la somma di due numeri dispari di cui solo uno è primo:

es.:

40 = 5 + 35 o 31 + 9, dove i primi addendi sono numeri primi, mentre i secondi non lo sono.

in maniera simile sono ottenibili anche i numeri:

42 = 17 + 25 o 3 + 39

86 = 71 + 15 o 61 + 25 o 59 + 27 o 53 + 33

osserviamo, infine, che nessun numero pari può essere espresso dalla somma di un numero pari con un numero dispari; in tal caso il risultato è sempre un numero dispari.
riepilogando: tutti i numeri pari sono esprimibili come la somma tra due numeri pari (escluso il 2); oppure come la somma tra due numeri dispari (incluso il 2); nel caso in cui i numeri pari siano esprimibili come la somma tra due numeri dispari, allora tutti quanti possono essere espressi anche come la somma tra due numeri primi. inoltre, alcuni pari sono esprimibili come la somma tra due numeri dispari di cui solo uno è primo; infine, nessun numero pari può essere espresso dalla somma tra un numero pari e uno dispari; in tal caso il risultato è sempre un numero dispari.

ora, diciamo che, quando un numero pari è espresso dalla somma di due numeri pari, tale somma è stata ottenuta per ripetizione. aggiungendo, infatti, un pari a un pari non si fa altro che ripetere una quantità pari. un numero con due esatte metà, addizionato a un altro numero con due esatte metà, darà come risultato un terzo numero con due esatte metà. questo risultato di parità lo si otterrà anche dalla somma tra più di due addendi pari; per esempio: 2 + 4 + 12 + 86 + 32 + 46 + 22 = 204.
quando, invece, un numero pari è espresso dalla somma di due numeri dispari, tale somma è stata ottenuta per compensazione. addizionando, infatti, un dispari a un dispari si compensa la disuguaglianza delle loro due metà; un addendo viene pareggiato con l’altro.
anche la somma tra due numeri primi, che sono tutti dispari (il 2 lo escludiamo sulla base di quanto abbiamo detto in precedenza) dà un numero pari per compensazione.
osserviamo, allora, che la parità è ottenibile dalla somma di due parità (es.: 8 + 8 = 16) o dalla somma di due disparità (es.: 9 + 15 = 26). osserviamo anche che la parità è ottenibile dalla somma di due numeri dalla cui propria divisione non risultano parti uguali; questi due numeri sono primi (es.: 7 + 11 = 14). possiamo chiamare la disuguaglianza delle parti di un numero dismerità (parola composta dal prefisso dis-, qui indicante opposizione, e dal termine greco μέρος, parte); da questo neologismo possiamo coniare l’aggettivo dismèrico. spieghiamo quindi la congettura di goldbach in questi termini:

un numero pari è ottenibile per compensazione dalla somma di due numeri dismerici.

in generale, non è la disparità degli addendi il principio che porta alla costruzione di un numero pari per compensazione, ma è la loro dismerità. la disparità è solo un tipo di disuguaglianza e riguarda solo le due metà di un numero. la dismerità invece è una disuguaglianza che riguarda qualsiasi ripartizione di un numero. quest’ultima caratteristica è tipica soltanto dei primi.
con l’introduzione del principio di dismerità non ho voluto fare un giro di parole eludendo il problema proposto da christian, ma ho voluto affrontarlo trattando l’essenza stessa dei numeri pari, dei dispari e dei primi. la mia osservazione, per cui un numero pari è ottenibile per compensazione dalla somma di due numeri dismerici, potrebbe anche essere dimostrata da una regola matematica; ma credo che essa sia già valida di per sè e che non richieda necessariamente una riprova.